repead.ru 1


Глава 2. Основные положения


и обзор возможностей программы


2.1. Краткий обзор главы


В этой главе кратко обсуждаются основные теоретические аспекты процесса теплопередачи и конкретная их реализация в программе ANSYS. В главу включены следующие темы:


  1. условные обозначения и единицы измерения;

  2. способы теплопередачи;

  3. стационарная теплопередача;

  4. нестационарная теплопередача;

  5. линейный и нелинейный анализы;

  6. граничные, начальные условия и источники тепла.



2.1.1. Условные обозначения и единицы измерения


  1. Условные обозначения, используемые в этом руководстве, приведены ниже.

  2. Во всех примерах, данных в этом руководстве, и во всех ссылках на единицы измерения используется Международная Система единиц (СИ).




  1. Основные величины:










Величина

Символ

Обозначение в системе СИ



Масса

M

кг (килограмм)




  1. Производные величины:










Температура

T


С (градус Цельсия)




*В некоторых примерах будут использованы (см) сантиметры


В некоторых системах единиц измерения в качестве основной величины используется сила вместо массы.



  1. Дополнительные величины, которые используются в теплопередаче :





Плотность теплового потока



q’’


Вт/м2

Объемная плотность теплового потока


Коэффициент теплопроводности


Коэффициент теплоотдачи (теплопередачи)


Площадь


Степень черноты


Угловой коэффициент(form factor)


Постоянная Стефана-Больцмана


Плотность


Удельная теплоемкость


Энтальпия


Скрытая теплота

q’’’


k


h


A


Fij


C


H


L

Вт/м3


Вт/м.C


Вт/м2.C


м2


-


-


Вт/м2.C4


Кг/м3


Дж/Кг.C


Дж/ м3


Дж/ м3



2.2. Виды теплообмена

  1. Существуют следующие три вида теплообмена:


  2. теплопроводность;

  3. конвекция;

  4. излучение.

  5. Для каждого вида теплопередачи приводятся основные зависимости вместе с кратким описанием возможностей программы ANSYS для решения соответствующих задач.


2.2.1. Теплопроводность


  1. Теплопроводность можно представить как обусловленный градиентом температур обмен внутренней энергией, который происходит при идеальном контакте двух тел или разных частей одного тела.

С микроскопической, или молекулярной, точки зрения, теплопроводность осуществляется благодаря беспорядочному движению атомов или молекул. Энергия передается от частиц вещества с большим количеством энергии (высокотемпературная область) к частицам с меньшим количеством энергии (низкотемпературная область). Однако конечно-элементный подход к теплопередаче предполагает макроскопический характер описания процесса.


  1. Процесс теплопередачи в сплошной среде можно описать уравнением для скорости переноса тепла, которое еще называют законом Фурье.

  2. Дифференциальная форма этого закона, выражающая плотность теплового потока в положительном направлении оси х, имеет вид

q’’ = – k dT/dx

  1. В терминах теплового потока через поверхность А


q = – k A dT/dx



  1. Знак “минус” в уравнении указывает на то, что тепло передается в направлении меньшей температуры.

  2. Закон Фурье для трех направлений декартовой системы координат записывается следующим образом:

q’’x = – kx dT/dx,


q’’ y= – ky dT/dx,


q’’ z= – kz dT/dx.

В векторной форме для случая изотропной теплопроводности (k=kx=ky=kz) уравнение имеет вид:


q’’ = – k T,

где

q=q’’xi+q’’yj+q’’zk,


.


  1. В общем случае теплопередача теплопроводностью в программе ANSYS задается при помощи элементов теплопроводности. Вот, например, некоторые из них:

  2. двумерный/трехмерный (2-D/3-D) теплопроводящий стержень;

  3. двумерное/трехмерное (2-D/3-D) тепловое*** сплошное тело;

  4. осесимметричное сплошное тепловое тело;

  5. тепловая оболочка.

_______________________________________________________________________

***Тепловой элемент - конечный элемент, которому могут быть присвоены в качестве реальных констант тепловые характеристики.


2.2.2. Конвекция


  1. Под конвекцией понимается передача тепла, которая происходит между поверхностью объекта и окружающей его средой, когда они имеют различные температуры.




  1. Рассматриваются два вида конвекции: свободная и вынужденная.


Свободная (или естественная) конвекция происходит при движении среды вследствие разности плотностей нагретых и холодных слоев среды в поле тяжести. Примером является теплопередача от горячего тротуара к атмосферному воздуху в спокойный, безветренный день.


Вынужденная конвекция обусловлена движением среды, которое вызвано некоторыми внешними причинами, такими как действие вентилятора, насоса или атмосферных ветров.


  1. Согласно закону Ньютона, теплопередача конвекцией описывается следующей формулой:

q’’ = q / A = h(TS – TB),

где Ts - температура поверхности;

Tв - средняя температура окружающей среды.



  1. Конвективная теплопередача фактически является граничной, или поверхностной нагрузкой, и именно так она моделируется в программе ANSYS. Конвекция может задаваться несколькими способами:

  2. вводом элемента конвективной связи (от узла к узлу);

  3. вводом двумерных и трехмерных элементов с поверхностным эффектом (от поверхности к узлу);

  4. вводом команд конвективной нагрузки, которые работают только с массивом твердотельных или оболочечных теплопроводящих элементов.

Элементы с поверхностным эффектом задаются при моделировании конвекции “от поверхности к узлу”, поскольку они содержат дополнительный узел (не принадлежащий базовому элементу), с помощью которого можно задавать среднюю температуру среды.


2.2.3. Излучение


  1. Излучением называется процесс распространения теплоты в форме электромагнитных волн, испускаемых объектами. Более горячий объект испускает в единицу времени большее количество лучевой энергии.

  2. Распространение тепла теплопроводностью или конвекцией требует присутствия передающей среды, в то время как излучение может осуществляться без нее. В действительности, теплопередача излучением наиболее эффективно происходит в вакууме.

  3. Если в системе присутствуют два тела или более, что является обычным случаем в технике, излучение энергии происходит в двух направлениях.

  4. Каждое тело излучает теплоту, но каждое также поглощает некоторое количество теплоты, испускаемое другим телом. В таком случае представляет интерес количество тепла, которое передается излучением.

  5. Источником обмена лучистой энергией является различие в абсолютных температурах тел.

  6. Уравнение, описывающее теплопередачу излучением между двумя телами (или поверхностями), основано на законе Стефана-Больцмана и имеет вид:

q = A1 F12 (T14 - T24 ),


где

q - радиационный тепловой поток;

- степень черноты;

- константа Стефана-Больцмана;


A1 - площадь поверхности с индексом 1;

F12 - угловой коэффициент (от поверхности 1 к поверхности 2);

T1 - абсолютная температура поверхности 1;

T2 - абсолютная температура поверхности 2.


  1. Тепловой анализ, который включает теплообмен излучением, является нелинейным, так как в уравнение теплопередачи температура входит в четвертой степени.

  2. Теплопередача излучением, подобно конвекции, рассматривается как граничное условие. Способы моделирования излучения состоят в следующем:

  3. задание элементов излучения (от узла к узлу);

  4. задание двумерных и трехмерных элементов с поверхностным эффектом(от поверхности к узлу);

  5. использование дополнительной программы, которая генерирует тепловую матрицу излучения (суперэлемент), отображающую эффекты излучения между двумя или более поверхностями.


2.3. Стационарная теплопередача


  1. Если поток теплоты остается неизменным во времени, то проводится анализ стационарного (установившегося) состояния.

  2. Соответственно температуры и нагрузки будут также постоянными во времени.



2.3.1. Основные уравнения теплопроводности для установившегося состояния


  1. Центральным понятием при рассмотрении теплопроводности является первый закон термодинамики или закон сохранения энергии.



  1. Для элементарного объема материала, находящегося в стационарном состоянии, первый закон может быть записан как уравнение баланса энергии:



подводимая энергия - отводимая энергия = 0.


  1. Тепловой баланс для стационарного (установившегося) состояния в алгебраической форме может быть записан следующим образом:

Qподводимая + Qгенерируемая – Qотводимая = 0.

  1. Первоначальной целью конечно-элементного подхода к рассмотрению проблемы теплопроводности является получение системы уравнений, которые позволяют рассчитать температурные поля и соответствующие тепловые потоки.

  2. Отправная точка - дифференциальная форма закона сохранения энергии для элементарного объема, т.е.


q’’= q’’’.


  1. С учетом закона теплопроводности Фурье это уравнение принимает следующий вид:

– (kT) = q’’’.


  1. Ограничиваясь рассмотрением линейных систем, в которых k=const, получим уравнение для прямоугольных координат (x,y,z)





  1. При получении системы разрешающих уравнений задачи используются следующие стандартные приемы.

1. Предполагается, что дифференциальное уравнение, составленное для элементарного объема, выполняется для каждого конечного элемента.

2. Применяются стандартные вариационные методы, в которых дифференциальное уравнение умножается на допустимую функцию температуры и интегрируется по объему элемента.

3. В пределах каждого элемента температуры аппроксимируются зависимостью

T(x,y,z) = Ni(x,y,z) .Ti,

где величины Ti являются узловыми температурами, а функции Ni представляют собой соответствующие функции формы для рассматриваемых элементов.

4. Такая процедура приводит к системе уравнений для конечных элементов, которые образуют глобальную систему уравнений для анализа стационарного теплового состояния, а именно


[K]{T}={Q},

где

[ K ] = матрица теплопроводности;

{ T } = вектор узловых температур;

{ Q } = вектор узловых тепловых потоков.

Система описывает стационарное состояние, причем решается линейная задача. Как будет показано, разрешающие уравнения для описания переходных процессов и полностью нелинейных систем могут быть получены подобным образом.

При рассмотрении этого уравнения оказывается, что матрица [K] описывает не только условия теплопроводности, но также и конвекцию, и граничные условия радиационного излучения:


[K] = [Kкондукции] + [Kконвекции] + [Kизлучения] .


При этом вектор теплового потока в узлах [Q] может включать не только заданный тепловой поток, но также составляющие конвекции и излучения:


{Q} = {Qзаданный} + {Qконвекции} + {Qизлучения}.


2.4. Нестационарная теплопередача


  1. Нестационарной тепловой анализ рассматривает меняющийся во времени отклик системы, сопровождающийся процессами нагревания или охлаждения.

  2. В противоположность стационарному анализу можно видеть, что в этом случае происходит следующее:

  3. температуры изменяются со временем,

  4. тепловой поток изменяется со временем,

  5. тепловые нагрузки могут изменяться со временем,

  6. изменения внутренней энергии очевидны.


2.4.1. Основные уравнения нестационарной теплопроводности


  1. Как и прежде, основой для получения разрешающих уравнений является закон сохранения энергии.
  2. Для некоторой сосредоточенной массы или элементарного объема количество подводимой энергии минус количество отводимой энергии равно изменению внутренней энергии, или в алгебраической форме:


Qподводимая + Qгенерируемая – Qотводимая = Qнакопленная .


  1. Для элементарного объема это соотношение в дифференциальной форме имеет вид:




  1. Используя закон Фурье, уравнение можно записать в таком развернутом виде:




  1. В соответствии с ранее указанной процедурой можно получить следующую систему уравнений


,

где

[ K] = матрица теплопроводности;

[ C] = матрица удельных теплоемкостей (или емкостей);

{ T} = узловые температуры;

= производная температуры от времени {T};

{Q} = вектор узлового теплового потока.


  1. Для получения значений температуры {T} используется следующий способ интегрирования по времени :


.


  1. Этот прием известен как способ Эйлера (или метод трапеций) для интегрирования по времени. В данном случае



    - шаг интегрирования по времени




    между точками n и n + 1;







    - параметр Эйлера.
  2. Величина параметра определяет метод интегрирования по времени. В программе ANSYS параметр удовлетворяет соотношению . При = имеет место схема интегрирования Кранка-Николсона, при = 1 - обратный метод Эйлера.


Метод Кранка - Николсона также называют правилом средней точки, а обратный метод Эйлера - методом обратных разностей.


  1. Когда используются указанные методы интегрирования по времени, система уравнений для нестационарной теплопроводности принимает вид:



где {T} = {Тn+1} – {Тn} ;


- эквивалентная матрица теплопроводности, которая зависит от матрицы теплопроводности [K] и удельной теплоемкости [C] ;

- эквивалентный вектор теплового потока, учитывающий {Q}, {Tn} и .

Конкретный вид указанных эквивалентных величин следующий:

,

.


2.5. Линейный и нелинейный анализы


Анализ стационарной или нестационарной теплопроводности становится нелинейным, если порознь или одновременно имеет место следующее:

  1. зависимость свойств материалов от температуры;

  2. зависимость от температуры граничных условий;

  3. наличие нелинейных конечных элементов.


К наиболее распространенным нелинейностям относятся:

  1. зависимость теплопроводности от температуры;

  2. зависимость энтальпии от температуры при рассмотрении фазовых превращений (плавление или затвердевание);

  3. теплопередача излучением;

  4. зависимость от температуры коэффициента теплоотдачи, используемого для расчета конвекции;

  5. использование конечного элемента с обратной связью или элемента управления с опциями включения/выключения;
  6. использование конечных элементов для анализа гидроаэродинамических явлений или для так называемых задач мультфизики.



2.5.1. Основные уравнения нелинейного анализа


  1. Рассмотрим систему уравнений в линейной форме:



где [C], [K] и {Q} - матрица удельных теплоемкостей, матрица теплопроводности и вектор теплового потока соответственно.

  1. В нелинейном анализе перечисленные величины могут быть зависимыми от температуры, тогда система уравнений имеет вид:



  1. Для нелинейной стационарной задачи ( = 0)

[K(T)] {T} = {Q(T)} .

  1. Более общее уравнение для нелинейной задачи имеет вид:


{P(T)) = {Q(T)},


где { P} - вектор внутренних узловых тепловых потоков, определяемый плотностями тепловых потоков элемента;

{Q} - вектор узловых тепловых потоков, обусловленных внешней (т.е. приложенной) тепловой нагрузкой.


  1. Система нелинейных уравнений решается итерационным методом, известным как метод Ньютона-Рафсона. Целью этого метода является удовлетворение соотношения

{Ф} {Q} – {P} {0}.


  1. Разность между вектором внешней нагрузки {Q} и вектором внутреннего теплового потока {P} рассматривается как остаточный, неравновесный поток или вектор ошибки {Ф}.

Фактически, вычисляется некоторая норма остаточного вектора (невязки), и цель состоит в том, чтобы достигнуть выполнения условия

|Ф| 0.

Обратите внимание: Вы встретите выражение для неравновесного теплового потока, записываемого в форме {Qа} - {Qnr}, где


{Qa} = {Q}, {Qnr} = {P}.


  1. Следующий шаг метода Ньютона-Рафсона состоит в применении усеченных рядов Тейлора к остаточному вектору .




  1. Этим достигается линеаризация системы уравнений

.


  1. Выполняются равновесные итерации (i=1, 2, 3, ...), и пересчитываются температуры для получения новых значений



до тех пор, пока критерий сходимости не достигнет допустимой числовой величины.

  1. В уравнении, записанном выше, матрица [KT] называется матрицей касательных или якобианом.

Разложение вектора{Ф} в ряд Тейлора имеет вид

,


где .


Матрица касательных определяется как .


  1. В применении к нелинейному нестационарному анализу метод Ньютона-Рафсона комбинируется с вышеупомянутым методом интегрирования по времени, что приводит к следующей системе разрешающих уравнений:



где - эквивалентная матрица теплопроводности;

- эквивалентный вектор внутреннего теплового потока


и .


2.6. Граничные и начальные условия, генерация тепла

  1. В типичном анализе теплопередачи требуется задать два или более варианта граничных (поверхностных) условий или нагрузок.


  2. В нестационарном анализе должны также быть определены начальные условия.

С математической точки зрения дифференциальное уравнение



является уравнением второго порядка по каждому координатному направлению и первого порядка относительно переменной времени. Следовательно, требуются два граничных условия в каждом направлении наряду с одним начальным условием.


2.6.1. Типичные граничные условия

2.6.2. Заданные температуры (Т*)


y


z


x


ST


T(x,y,z) = T* (на ST)

В программеANSYS это реализуется:

  1. с помощью команд, используемых при построении твердотельной и/или конечно-элементной модели.



q’’


n


Sq


q’’ n = q* ( на Sq )

2.6.3. Заданные тепловые потоки (q*)


q*

- заданная плотность теплового потока (положительна,




если направлена внутрь области);

n

- внешняя нормаль к границе области.



В программе ANSYS это реализуется:
  1. с помощью команд, используемых при построении твердотельной и/или конечно-элементной модели;


  2. заданием элементов с поверхностным эффектом.


q” n = 0 (на So)


So


So


So


n


Изолировано


n


Ось симметрии

2.6.4. Адиабатические условия


  1. Адиабатические условия - частный случай условий с заданным тепловым потоком.

  2. Это граничное условие отсутствия теплового потока, которое описывает теплоизолированную поверхность или условие симметрии.


В программе ANSYS это реализуется:

  1. с помощью свободных поверхностей без заданных граничных условий, адиабатическими по определению.


Адиабатические условия являются естественными граничными условиями при формулировке метода конечного элемента. Если некоторой поверхности не задаются граничные условия, то она считается адиабатической по определению.


2.6.5. Заданная конвекция (TB, h)


TB,h


Sh





TS= T(x,y,z) on Sh

TS= температура Среды

h = коэффициент теплоотдачи


n


В программе ANSYS это реализуется:

  1. с помощью команд, используемых при построении твердотельной и/или конечно-элементной модели;
  2. с помощью конечных элементов конвективной связи;


  3. посредством элементов с поверхностным эффектом.



S2


n


S1




2.6.6. Заданное излучение


В программе ANSYS это реализуется:

  1. посредством конечных элементов излучения;

  2. с помощью элементов с поверхностным эффектом;

  3. использованием созданной с помощью вспомогательного процессора матрицы излучения.



2.6.7. Предписанные начальные условия (T0)


  1. При нестационарном анализе должны быть заданы температуры для некоторого момента времени (t*), предшествующего началу переходного процесса. Обычно t* = 0.



В программе ANSYS:

  1. постоянная температура задается одной командой;

  2. различающиеся узловые температуры вводятся с помощью нескольких команд (это - заданные температуры, о которых сказано выше);

  3. для задания начального распределения температур для нестационарного анализа предварительно выполняется стационарный анализ.



q’’’


y


x


z


2.6.8. Заданная генерация теплоты (q’’’)


  1. Это - “источник” или внутренняя тепловая нагрузка, которая имеет размерность в виде количества тепловой энергии на единицу объема.

В программе ANSYS это реализуется:

  1. с помощью команд, используемых при построении твердотельной и/или конечно-элементной модели.