repead.ru 1

7 класс

Задание 4



1) Доказать, что делится на 5 при любом a.
Решение. Разложим на множители Пусть b - остаток от деления a на 5. Число b принимает одно из пяти значений: 0, 1, 2, 3, 4. Если ,то a делится на 5. Если , то делится на 5. Если , то делится на 5. Если или , то имеет при делении на b в остатке 4, а потом делится на 5. Итак, при любом b один из сомножителей в данном разложении делится на 5.
2) Дано уравнение , где a - действительное число. Определить число решений уравнения в зависимости от значений параметра a.

Решение. При уравнение имеет бесконечно много решений: x - любое действительное число неравное нулю. При уравнение не имеет решений. При и уравнение имеет единственное решение:

3) Имеется металлический лом двух сплавов с содержание никеля 5 % и 40 %. Сколько нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы получить 840 г сплава с содержанием никеля 30 %.

Решение. Пусть одного сплава взяли x г, тогда второго будет (840 – x) г. Чистого никеля в первом сплаве г, во втором г, и в новом сплаве г. Отсюда имеем уравнение
Ответ: одного сплава нужно взять 240 г, другого – 600 г.
4) Найти значения a и b, при которых для любых значений x верно равенство:

.

Решение. Приведем к общему знаменателю левую часть равенства и приравняем числители. Получим: Имеем

Ответ:
5) Доказать, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.

Решение. Если предположить, что AD и BE в точке O делятся пополам, то ΔAOE = ΔDOB (по первому признаку). В этом случае AO = BO (гипотенузы были бы равны). Но BO =OE (по предположению). Значит, AO = OE, что невозможно (гипотенуза не равна катету), что и требовалось доказать.