repead.ru 1


Интегралы с переменным верхним пределом

  • Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], тогда она интегрируема на любом отрезке [a, x], где axb и имеет смысл интеграл

      • ,
  • который представляет собой функцию от х и называется интегралом с переменным верхним пределом.

  • Теорема 1. Определенный интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции f (x) на отрезке [a, b] является первообразной для подынтегральной функции, т.е. для любого x  [a, b]

          • .

Вычисление определенных интегралов

  • Теорема 2. (Формула НьютонаЛейбница)

  • Если функция f (x) непрерывна для любого x  [a, b], то какова бы ни была на этом отрезке ее первообразная F (x), справедлива формула

  • .

  • (обратите внимание на символику:

  • символ означает разность F (b) – F (a)).

  • Теорема 3. Если функции u (x) и v (x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a, b], то

  • .


Вычисление определенных интегралов

  • Теорема 4. Пусть функция f (x) интегрируема на [a, b], а функция x = (t) непрерывно дифференцируемая на [, ], причем : [, ]  [a, b], ()=a, () = b и  t [, ] существует  '(t) .

  • Тогда .

  • Теорема 5. Если функция f (x) – четная на отрезке [– a, a], то

  • .

  • Теорема 6. Если функция f (x) – нечетная на отрезке [– a, a], то

  • .



Спасибо за внимание