repead.ru 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


ИТТФ (ТФ-9-14), Эл-16


I семестр, 33 (зач, экз.), 2004-2005 уч.г.


Составил Гуличев Н.В.


Лекции


1 лекция. Введение. Основные виды числовых множеств, отображения и

функции. Предел числовой последовательности и функции в бесконечности.


2-3 лекции. Предел функции в точке. Непрерывность. Оценочные признаки

существования пределов. Бесконечно малые функции. Теорема об асимптотическом

разложении. Арифметические свойства пределов. Первый и второй замечательные

пределы.


4 лекция. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Сравнение

функций. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица.


5 лекция. Бесконечно большие функции. Связь с бесконечно малыми.

Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.


6-7 лекции. Понятие производной. Механический и геометрический смысл.

Понятие дифференцируемости функции. Необходимое условие дифференцируемости.

Критерий дифференцируемости. Правила дифференцирования. Таблица. Дифференцирование

сложных, обратных функций и функций, заданных параметрически.


8-9 лекции. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о

непрерывных и дифференцируемых функциях.


10-11 лекции. Исследование функций: монотонность, экстремум, направления

выпуклости и точки перегиба, асимптоты.


12-13 лекции. Формулы Тейлора. Стандартные разложения. Применение формулы

Тейлора.


14-15 лекции. Неопределенный интеграл. Его свойства. Основные приемы

интегрирования.


16 лекция. Интегрирование рациональных функций.

17 лекция. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.



18-19 лекции. Определенный интеграл. Методы интегрирования. Теорема

Чебышева. Понятие о "неберущихся" интегралах.


20-21 лекции. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей

и длин дуг.


22 лекция. Простейшие квадратурные формулы (необязательна).


23-24 лекции. Несобственные интегралы (если не успеваем, то в

практических занятиях II сем.).


25 лекция. Обзор.


Практические занятия


1 занятие. Графики основных элементарных функций. Основные приемы

построения. Гиперболические функции и их графики.


[3]: 113 (1,2), 81 (3), 137 (1,2,3).


ДЗ. [2]: 1.184,1.186,1.188,1.190.


2 занятие. 1. Предел числовой последовательности.


[3]: 246,248,249,250,255,256,266.


2. Предел функции в бесконечности.


[3]: 283,281,282,290,295,307.


ДЗ. [2]: 1.234,1.235,1.237,1.240,1.282,1.288,1.301. ТР: 2,3,4.


3 занятие. Предел функции в точке. Простейшие приемы вычисления.

Непрерывность функции в точке.


[3]: 268,272,277,296,299,226,223,235 (ранее лекции).


ДЗ. [2]: 1.272,1.276,1.277,1.280,1.289,1.298,1.384,1.399. ТР: 9,10.


4-5 занятия. Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно

малых и "типа е".

[3]: 316,317,322,327,330,333,295,335,376,398,

[5]: 364,397,400.


ДЗ. [2]: 1.306,1.307,1.309,1.304,1.314,1.327,1.328,

1.329,1.297,1.311,1.322, 1.320,1.325. ТР: 11,12,14,15.


6 занятие. Коллоквиум (КР) "Пределы".


7 занятие. Понятие производной. Таблица. Дифференцирование суммы,

произведения и частного. Геометрический и механический смысл.

[3]: 466 (5,12), 494,523,524,549,553,573,602,643, ТР 1.31, 459,816,819.



ДЗ. [2]: 5.21,5.23,5.29,5.25,5.26,5.37,5.38,5.39,5.42,

5.248,5.265, ТР: 1,2.


8-9 занятия. 1. Техника дифференцирования. Дифференциал.


[3]: 498 (5),503,509,525,534,539,540,552,572,594,635,644,

889 (5),883.


2. Логарифмическое дифференцирование.


[3]: 650,652,658.


3. Производные высших порядков.


[3]: 1013,1030,1033,1032,1080; ТР 4.31.


ДЗ. [2]: 5.46,5.62,5.63,5.65,5.68,5.70,5.75,5.277,

5.287,5.87,5.89,5.82, 5.190,5.202. ТР: 3,4,6,11,13,17,20.


10 занятие. 1. Дифференцирование функций, заданных параметрически.


[2]: 5.171,5.230; ТР 16.31.


2. Правило Лопиталя.


[2]: 5.329,5.346,5.365,5.368,5.374.


ДЗ. [2]: 5.177,5.231,5.242. 5.334,5.337,5.345,5.355,

5.364,5.369,5.373. ТР: 15,16.


11 занятие. КР "Дифференцирование" (1 час).


Наибольшее и наименьшее значения функции.


[3]: 1185,1246,1211.


ДЗ. [2]: 5.413, 5.426, 5.427. ТР: 3,4.


12 занятие. Исследование функции по первой производной и эскиз графика.


[3]: 1143,1156, ТР 2.31

ДЗ. [2]: 5.462, 5.476, 5.478. ТР: 1, 2.


13 занятие. Исследование функций по первой и второй производной.

Эскиз графика функции.

[3]: 1286 (1,2),1311,1296, 1273.


ДЗ. [2]: 5.440, 5.445, 5.446, 5.443.


14-15 занятия. Построение графиков по общей схеме.


ТР 6.31

Формула Тейлора.


[2]: 5.394, 5.400 (в). Исследовать поведение функции в окрестности

точки.


ДЗ. [2]: 5.465, 5.497, 5.514, 5.396, 5.400 (в). ТР: 5-10.


16 занятие. КР "Графики" (2 часа).

17-18 занятия. 1. Простейшие приемы интегрирования.



[3]: 1678, 1689, 1692, 1694, 1696, 1699.


2. Подведение под знак дифференциала.


[3]: 1703, 1706, 1707, 1717, 1719, 1723, 1731, 1742, 1759, 1760,

1803, 1807.


[2]: 6.19, 6.26, 6.27, 6.41 (а), 6.44, 6.66, 6.65, 6.47,

6.48, 6.64, 6.71, 6.95, 6.159, 6.252. ТР: 3.


19 занятие. 1. Замена переменной в неопределенном интеграле.


[3]: 1869, 2000, 1882, 1884, 1890.


2. Интегрирование по частям.


[3]: 1832, 1838, 1846, 1850, 1860.


ДЗ. [2]: 6.115, 6.116, 6.117, 6.129, 6.127, 6.124, $6.143^*$. ТР: 1,2.


20 занятие. Определенный интеграл. Методы интегрирования.


[3]: 1672 (1,3), 1637 (1), 2232, 2250, 2261, 2263, 2275, 2279.


ДЗ. [2]: 6.327, 6.329, 6.340, 6.401, 6.408, 6.380, 6.381. ТР: 2,4.


21 занятие. Интегрирование рациональных функций.


[3]: 2016, 2037. В номерах 2014, 2029, 2019, 2036, 2049 указать

только вид разложения дроби.


ДЗ. [2]: 6.167, 6.178. В номерах 6.170, 6.174 указать вид

разложения. ТР: 5, 7.


22 занятие. Интегрирование тригонометрических выражений.


[3]: 1816, 1826, 1827, 2090, 2116, 2117.


Интегрирование иррациональностей.


[3]: 1891, 1892, 2277, 2286.


ДЗ. [2]: 6.190, 6.194, 6.213, 6.219, 6.221, 6.386, 6.390,

6.245. ТР: 8,9,12.


23 занятие. Применение определенных интегралов.


1. Площади. [3]: 2458, 2455, 2496, 2507.


2. Длины. [3]: 2521, 2536, 2543.


ДЗ. ТР: 14,16,17,18,19.


24 занятие. Обзор. КР "Интегрирование".


Перечень задач из ТР


Пределы: 2,3,4,9,10,11,12,14,15.

Дифференцирование: 1,2,3,4,6,11,13,15,16,17,20.

Графики: 1--10.

Интегралы: 1,2,3,4,5,7,8,9,12,14,16,17,18,19.


Контрольные мероприятия


1. Коллоквиум (КР) "Пределы" - 6 занятие.


2. КР "Дифференцирование" - 11 занятие (1 час).


3. КР "Графики" - 16 занятие.


4. КР "Интегралы" - 24 занятие.


Литература


1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление.

-М.: Наука, 1980.


2. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П.

-М.: Наука, 1993.


3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

-М.: Наука, 1985.


4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты).

-М.: Высшая школа, 1994.