repead.ru 1 2 3

Основная часть

Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.). Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много». Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»…

Простые и составные числа

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 имеет только один делитель: само число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Первыми десятью простыми числами являются: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя. Произведение двух простых чисел может быть простым число, если одно из чисел равно 1, а другое является простым числом. Все простые числа, большие 2, нечетные.

Неразгаданная тайна простых чисел

Тайна простых чисел –это их распределение между остальными числами: произвольное, без какого-либо порядка. Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно- в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Математики годами пытались найти этот порядок, но безуспешно. А отсутствие порядка означает, что простые числа нужно отыскивать одно за другим. Малые простые числа легко найти с помощью так называемого «Решета Эрастофена». В таблицу вписываем все числа до 100 ( 1 не включается: она не является простым числом). Вычеркиваем все четные числа, кроме 2. Затем вычеркиваем все числа, делящиеся на 3, кроме 3. Числа, делящиеся на 4, уже вычеркнуты, поэтому переходим к 5, затем к 7. Все оставшиеся числа (желтые клетки) – простые.




Простые числа называют кирпичами в построении математики, так как все остальные числа можно сформировать, перемножая простые. Например, 55 = 5 × 11 75 = 3 × 5 × 5 39 = 3 × 13 65 = 5 × 13 221 =13 × 17 73 939 133 – удивительное простое число. Можно удалить с его конца любое число цифр, и оставшееся число тоже будет простым. Это наибольшее известное число, обладающее таким свойством.

Удивительная закономерность

31 – простое 331 - простое 3331 - простое 33331- простое 333331 - простое 3333331 – простое Математики нашли несколько очень больших простых чисел. 23 августа 2008 года компьютеры отдела математики университета в Лос-Анджелесе (Калифорния) обнаружили гигантское 12 978 189-значное простое число 243 112 609 – 1, а несколько позже, 6 сентября 2008 года компьютер инженера-электрика Ханса Микаэла Элвенича из города Лангельфельда (Германия) открыл 11 185 272-значное простое число 237 156 667 - 1. Участники международного интернет-проекта, подключившие свои компьютеры к исследованию и поиску рекордных по величине простых чисел, получили крупное денежное вознаграждение от фонда Elektronik Frontiger Foundation (cайт www.mersenne.org). Числа, имеющие не менее трёх различных делителей, называются составными.

Сверхсоставные числа( Книга «Я познаю мир»)

Человеку свойственно выискивать самое-самое во всем, с чем он имеет дело, «Книга рекордов Гинесса» - тому подтверждение. А какое число самое большое? Такого числа нет, поскольку всякое число мы можем увеличить, прибавив к нему единичку. Поищем чемпионов среди натуральных чисел по числу делителей. Меньше всего различных делителей у числа 1, всего один - сама единичка. У всех простых чисел по два делителя – само число и единичка. А у какого натурального числа больше всего делителей? Ясно, что такого числа нет, так как умножив натуральное число, скажем, на два, мы увеличиваем количество его различных делителей. Сверхсоставным числом будем называть натуральное число, которое имеет больше делителей, чем каждый из больших его натуральных чисел. Какое сверхсоставное число будет наименьшим? Число 1 имеет ровно один делитель. Числа 2 и 3 имеют ровно по два делителя, так как они простые. Число 4 имеет три делителя. Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Казалось бы, что следующим должно идти число с пятью делителями. Наименьшее такое число 16, его делители 1, 2, 4, 8 и 16. Но его определило число 12, у которого шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поэтому число 16 не стало сверхсоставным, а им стало число 12. Следующее число, являющееся сверхсоставным будет число 30 с восемью делителями. Потом, 36, 40, 54, 56 все с восемью делителями, 48 с десятью делителями, число 60 имеет двенадцать делителей и только число 64 имеет ровно семь делителей, а значит числа 36, 40, 48, 54, 56 и 60 являются свехсоставными числами. Взаимно простые числа


Натуральные числа, называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Числа-близнецы

Так называются простые числа, отличающиеся друг от друга на 2. В первом десятке простых чисел такими парами будут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 К числу нерешенных до сих пор задач относится проблема «близнецов». Неизвестно, оборвется ли когда-нибудь этот список или же он бесконечен, как и ряд простых чисел. Дружественные числа

Пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого, то есть делителей, отличных от самого числа. Определение дружественных чисел есть уже в «Началах» Евклида, в трудах Платона. Древним грекам была известна одна пара таких чисел: 220 и 284, суммы их делителей соответственно равны: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284 1+2+4+71+142= 220 Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу. Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма (1601 -1665). Но в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256 – 1321) были найдены строки: «Числа 17296 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ». А задолго до Ибн аль- Банны другой арабский математик Ибн Кура (836 – 901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа. Многие авторы после Ибн Куры изучали дружественные числа, но ничего не открыли. Французский математик и философ Рене Декарт (1596 – 1650) в 1638 году нашел следующую пару дружественных чисел: 9363584 и 9437056. После Декарта получил новые дружественные числа Леонард Эйлер (1707 - 1783). Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа. В настоящее время известно 1100 пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо перебором на компьютере. Любопытно, что на долю компьютера в этом списке досталось совсем немного чисел - большинство из них было открыто математиками «вручную». Однако неизвестно, существует ли пара чисел, одно из которых четное, а другое нечетное.


Хорошие числа

Натуральное число будем называть хорошим, если оно делится на сумму цифр самого числа. По определению хороших чисел все цифры от 1 до 9 являются хорошими числами. Самое меньшее двузначное число 10, так как оно делится на число, равное (1 + 0). Следующим числом является 12, т.к. 12 делится на 1 + 2, как уже мы доказали это же число является и сверхсоставным. 13 – не хорошее число, т. к. 13 не делится на (1+3); 14 - не хорошее число, т. к. 14 не делится на (1+ 4); 15 - не хорошее число, т. к. 15 не делится на (1+ 5); 16 - не хорошее число, т. к. 16 не делится на (1+ 6); 17 - не хорошее число, т. к. 17 не делится на (1+ 7); 18 - хорошее число, т.к. 18 делится на (1+ 8); 19 - не хорошее число, т.к. 19 не делится на (1+ 9); Хорошие числа: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54 и т.д.. Как мы видим, все хорошие числа являются составными числами.

Совершенные числа

Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа. Пифагор (VI в до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, 6 = 1 + 2 +3, где числа 1, 2 и 3 являются делителями числа 6. 28 = 1+ 2 + 4+7 +14, где числа 1, 2, 4, 7 и 14 делители числа 28. Следующие совершенные числа - 496 = 1+ 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, где числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 являются делителями числа 496 Пифагорейцы знали только первые три совершенных чисел. Четвертое совершенное число - 8128 стало известно в 1 веке нашей эры. Пятое - 33550336 было найдено в XV веке нашей эры. Совершенные числа тесно связаны с простыми числами Мерсена, то есть с числами вида 2m - 1. Еще Евклид установил, что число n = 2m-1 (2m - 1) является совершенным, если 2m - 1 простое число. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел и все найденные совершенные числа являются четными числами. Первые 23 из этих чисел соответствуют значениям m : 2,3,5, 7.,7,13,17,19,31,61, 89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3271,4219,4423,9689,9941,11213,. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.


Треугольные числа Пифагор (IY век до нашей эры) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках они получили: - последовательность (а2) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, … получается таким образом: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,…, - последовательность (b2) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …. получается следующим образом: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9,…,n2 - последовательность (c2) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, … получается таким образом:1, 1+4, 1+4 +7, 1+4+7+10,4+7+10+13,…,

Числа-самородки Возьмем числа 5, 10, 11, 13, 17, 25,…. Все числа, кроме 5, сформированы по единому правилу. К числу прибавляется сумма его цифр. Так, 5+5=10, 10+1=11, 11+2=13, 13+4=17,… Все начинается с числа 5. Число 5 оказалось как бы самородком. Однозначные самородки обнаруживаются сразу 1, 3, 5, 7 и 9. Из двухзначных наименьшее 20, затем 31,… Есть коллекция «самородков» и среди многозначных чисел. Например, 132, 143, 233, 929, 1952 и т.д.

Симметричные числа

Число называется симметричным, если существует прямая (или центр симметрии), переводящее это число в себя. Если рассмотреть все десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, то можно заметить: Цифра 8 имеет только вертикальную ось симметрии l и является симметричным числом относительно этой вертикальной оси (прямой). Цифра 0 имеет две оси симметрии, вертикальную и горизонтальную, и один центр симметрии (этот центр – точка пересечения вертикальной и горизонтальной осей симметрии).


Цифры 8 и 0 являются симметричными, значит, все симметричные числа будут составлены из этих цифр. Самым маленьким и единственным двузначным числом является число 88. Осью симметрии числа 88 является прямая m, переводящая первую восьмерку на вторую. Следующим симметричным числом является число 808, имеющее вертикальную ось симметрии p, вторым симметричным трехзначным числом является число 888.



Четырехзначные симметричные числа: 8008, 8888. Пятизначные симметричные числа: 80008, 80808, 88088, 88888.

Заключение

Числа окружают нас и всячески помогают нам в наших делах. Они – инструмент для счёта. Без чисел мы не знали бы, какой сегодня день и который час. В наши дни числа везде, и они нужны нам всегда. Трудно представить, во что превратился бы мир, если бы у нас не было чисел! Число – основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Потребность счёта предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа. Существует большое количество определений понятия «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Древнегреческий математик Пифагор так говорил о числе: «Число –это закон и связь мира, царящая над богами и смертными», «Сущность вещей есть число, которое вносит во всё единство и гармонию», «Всё есть число». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей». Изучению удивительных особенностей натуральных чисел нет конца. Нашей группой был исследован ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями, рассмотрены простые и составные числа, сверхсоставные числа, совершенные числа и хорошие числа, числа-близнецы, дружественные числа, особенные числа, симметричные числа. В ходе изучения данной темы удалось углубленно изучить школьные темы, простые и составные числа. Мы познакомилась с особенными двузначными числами, у которых произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры. К удивительным числам относятся симметричные числа. Изучая ряд натуральных чисел, можно найти много особенностей натуральных чисел. В целом поставленные задачи выполнены. Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. Наша гипотеза оказалась верна, указать самое большое простое число, составное, совершенное, симметричное невозможно. При изучении данной темы удалось углубленно изучить школьные темы, простые и составные числа. Ознакомиться со сверхсоставными числами, с особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифр. Новое к удивительным числам – эти хорошие и симметричные числа, числа-самородки. Здесь останавливается движение по натуральному ряду. Не слишком ли много внимания уделено начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): "Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человеческих".



Содержание

Введение……………………………………………………...3

Удивительные числа

1. Числа простые………………………………………...4

2. Совершенные числа…………………………………..7

3. Дружественные числа………………………………...8

4. Палиндромы и репьюниты…………………………..10

Заключение …………………………………………………11

Литература…………………………………………………..12


Введение

Можно ли представить себе мир без чисел? Возьмите то, что мы делаем изо дня в день: без чисел - ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберешь. А космические корабли, лазеры и все другие технические средства и достижения. Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах. Само возникновение понятия числа - одно из гениальных проявлений человеческого разума. Действительно, числа измеряют, сравнивают, вычисляют, а еще рисуют, проектируют, играют, делают умозаключения, выводы.

Самые древние по происхождению числа натуральные. Еще в начальной школе мы знакомились с четными и нечетными числами, на уроках математики в 6 классе появляются числа простые. Оказывается, среди натуральных чисел есть еще совершенные, дружественные, репьюниты.

В школе я провела исследование и выяснила, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. 26 из 34 опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

Объект исследования – натуральные числа.

Предмет исследования – свойства этих чисел.

Гипотеза:

Если простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, то, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Цель исследования: Познакомиться с удивительными числами и установить роль простых чисел в изменении их свойств.

Задачи:

1. Описать способы поиска простых чисел.

2. Рассмотреть свойства совершенных и дружественных чисел.


3. Познакомиться с палиндромами и репьюнитами.

Метод исследования – теоретический.


1. Числа простые

Такие ли они «простые», эти простые числа?

Числа, которые имеют только два различных делителя, называются простыми. Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это единственное четное простое число.

Проведем небольшое исследование. Представим натуральные числа в виде произведения простых множителей: 12=2∙2∙3; 18=2∙3∙3; 140=2∙2∙5∙7 и т. д. Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых при помощи умножения строят все остальные числа. Можно ли сосчитать все простые числа? Греческий геометр Евклид написал книгу «Начала», и одним из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Т.к. простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел: мы уже знаем, что наибольшего простого числа нет. Поэтому составление списка всех простых чисел столь же безнадежное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, тысячи. Над тем, как составлять списки, задумался живший в III веке до н. э. александрийский ученый Эратосфен. Это был удивительно разносторонний человек: он занимался и теорией чисел, и изучал звезды. Но навсегда его имя вошло в науку именно в связи с придуманным им методом отыскания простых чисел. С «решетом Эратосфена» мы знакомились по учебнику. Рассмотрим несколько других интересных методов отыскания простых чисел. Разместим последовательность натуральных чисел в 6 столбцов (см. рис.).

Получим модель «решета» Эратосфена для отсеивания простых чисел. Все числа в кружочках – простые. Составные числа перечёркнуты. Систему проведения прямых, вычеркивающих составные числа, понять легко. Все простые числа от числа 5 и дальше свили себе гнёздышки только в 2 столбиках: в 4 и 6. Когда в какой-то строке 4 и 6 столбцов оба числа простые, то это пара «близнецов»: (5;7), (11;13), (17;19) и т.д.


Многие математики пытались вывести формулу для отыскания простых чисел. Живший в 17 веке во Франции математик Пьер Ферма думал, что он нашел такую формулу: р=22 +1. Действительно, при n=1,2,3,4 эта формула дает простые числа 5,17,257,65537. Но позднее обнаружилось, что при n = 5 получается составное число: оно делится на 641. До сих пор неизвестно, есть ли среди чисел Ферма еще хоть одно простое, кроме найденных им самим.

Еще одна из формул p = n2 - n+41. Для некоторых чисел эта формула верна, но не при n=41.

Итак, простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов. Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно простое, быстродействующему компьютеру потребовалось несколько недель. Как видно, простые числа ловко прячутся, и поэтому их стали использовать в секретных шифрах, а мы воспользуемся простыми числами для отыскания удивительных чисел.

2. Совершенные числа

Делителем натурального числа называется такое число, на которое а делится без остатка.

Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п.

Например, число 6 имеет делители 1,2,3. Найдем их сумму: 1+2+3=6. Число 28 имеет делители 1,2,4,7,14. Их сумма: 1+2+4+7+14=28!

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в., отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса:

1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?

2) Существует ли нечетное совершенное число?

До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа, хотя и не доказано, что такого числа не существует. Все совершенное редко встречается в мире. Редко встречаются и совершенные числа. Испытав огромный массив последовательных натуральных чисел, исследователи нашли уже более 30 совершенных: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Вот 25-е число: 244496 . (244496-1). В развёрнутой записи этого числа содержится 26790 цифр! Знакомясь с совершенными, нельзя не сказать о дружественных числах.


3. Дружественные числа

Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел. Вот это свойство: 220=1•22•5•11 - делится на 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 (само число исключается из перечня делителей, тогда остальные делители называются собственными), а сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284.

В свою очередь, 284=1•22 •71 делится на 1,2,4,71 и 142 и сумма его собственных делителей равна 220! Значит, 220 – это как бы «второе я» числа 284. В средние века считалось, что талисман с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви. Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

Дадим определение:

Сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

Вторую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.

Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини (тезка знаменитого скрипача).

Но превзойти Эйлера по количеству пар никому из математиков не удавалось вплоть до последних десятилетий нашего времени. Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле (62 новые пары к 1948 г). Наконец, самой рекордной добычи достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за 1968-1972 годы! Для вычислений он пользовался ЭВМ.


К настоящему времени коллекция дружественных чисел превышает 1000 пар, в ней имеются теперь даже двадцатипятизначные пары чисел. Из этой коллекции ровно 13 пар размещаются на отрезке (1:100 000):

1 220 284 8 17296 18416

2 1184 1210 9 63020 76084

3 2620 2924 10 66928 66992

4 5020 5564 11 67095 71145

5 6232 6362 12 69615 87633

6 10744 10856 13 79750 88730

7 12285 14595

4. Палиндромы и репьюниты

Дадим определения:

Обращенное число – это число, записанное с теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Например, 1234 обращенное 4321.

Палиндромическое число - равное обращенному. Например, 121, 5995, 12321 и т. д.

Репьюниты - натуральные числа, запись которых состоит только из единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются короче - Rn: R1=1, R2=11, R3=111, R4=1111…

«Фамилия» этого семейства – Repunit - образована слиянием английских слов: repeated unit (повторенная единица). Обнаружено немало интересных свойств репьюнитов. Например, в семействе репьюнитов выявлено пока только 5 простых чисел: R2, R19, R23, R317 и R1031.

Интересна табличка простых делителей составных репьюнитов:

111=3∙ 37;

1111=11∙101;

11111=41∙271;

111111=3∙7∙ 11∙13∙37;

1111111=239∙ 4649 и т. д.

В результате умножения репьюнитов получается палиндромическое число:

11∙11=121;

11∙111=1221;

1111∙11=12221;

1112=12321;

Вывод

Мы познакомились с удивительными натуральными числами: совершенными, дружественными, палиндромами и репьюнитами. Все они, кроме палиндромов, обязаны своими свойствами простым числам.

Значит, мы подтвердили свою гипотезу:

простые числа – это «кирпичики», из которых строятся все натуральные числа, «перекладывая» их, можно получить удивительные «числовые сооружения».


Литература

1. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995

2. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел: Книга для учащихся/ М.: «Просвещение», 1995

3. Депман И.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы/- М.: «Просвещение», 1989

4. Я.И. Перельман. Занимательная математика: Е.: Издательство «Тезис», 1994

Содержание

Введение

Глава 1. О числе

Глава 2. Простые числа

2.1 Простые числа. Решето Эратосфена

2.2 Числа - близнецы

2.3 Проблема Гольдбаха

Глава 3.Фигурные числа

3.1 Фигурные числа

3.2 Многоугольные числа

Глава 4. Дружественные, совершенные, компанейские числа

4.1 Дружественные числа

4.2 Совершенные числа

4.3 Компанейские числа

Глава 5. Числовые суеверия и мистические представления чисел

5.1 Число зверя 666

5.2 Число Шахиризады

5.3 Число на гробнице

Заключение

Литература

Введение

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах - математики - немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного!

"Самые древние по происхождению числа - натуральные. "Ручейки" натуральных чисел, сливаясь, порождают безбрежный океан вещественных и разного рода особых специальных чисел", так писал о числах Б.А.Кордемский в своей книге "Удивительный мир чисел".

Предметом моего исследования являются натуральные удивительные числа и их свойства.


Цель работы: как можно больше отыскать удивительных натуральных чисел, установить их свойства и закономерности.

Предлагаемая работа является результатом поиска удивительных и необычных чисел, проведенного по литературным источникам.

Основными методами исследования видов чисел являются изучение и обработка литературных источников, систематизация данных.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел.

2. Выделить интересные виды удивительных натуральных чисел: простые, числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные и другие.

3. Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.

4. Раскрыть таинственную магию и суеверие о некоторых числах.

Глава 1. О числе

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 - цвет, 6 -холод, 7 - разум, здоровье, 8 -любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).

Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).


Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: "один" и "два". Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время пределом познания было число "семь".

О непонятном говорили, что эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек".

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом "сорок сороков", равным 1600.

Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят", которое часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой сохранились до наших дней при измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского народа было число "тьма", (у древних греков - мириада), равное 10 000, а запределом - "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. У славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое "большое число" или "большой счет").

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в "исчислении песчинок" - до числа 10, возведенного в степень 81016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах - до бесконечности ?.


Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ? . Натуральных потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать нуль. Его придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 г.

Глава 2. Простые числа

2.1 Простые числа. Решето Эратосфена

Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым числом, ни составным.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число - это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа - они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Простых чисел бесконечное множество.

2.2 Числа - близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.


В пределах первой сотни близнецы - это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений - тоже пока неизвестно.

2.3 Проблема Гольдбаха

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:

Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел".

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха - Эйлера, но безуспешно.

Глава 3. Фигурные числа

3.1 Фигурные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

Фигурные числа -- общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа -- числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа -- числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа -- числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

3.2 Многоугольные числа

Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".

Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).

Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.

Глава 4. Дружественные, совершенные, компанейские числа

4.1 Дружественные числа

Дружественные числа - это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".


История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел - 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных чисел:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ".

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил новые дружественные числа Леонард Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 году шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.


Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

4.2 Совершенные числа

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).

Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.

Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.

Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.


Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.

- Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.

- Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13 + 33 + 53

- Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.

Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2? 2? 2, 16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.

- Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.

4.3 Компанейские числа

Понятия совершенных и дружественных чисел часто упоминаются в литературе по занимательной математике. Однако почему-то мало говорится о том, что числа могут дружить и компаниями. Понятие компанейских чисел хорошо раскрывается в англоязычных источниках.

Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго - третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.

Есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников, а вот по три не найдено. Пример пятёрки, пока единственной известной: 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.


Глава 5. Числовые суеверия и мистические представления чисел

5.1 Число зверя 666

Число зверя 666 -- число Смита, сумма его цифр равна сумме цифр его простых сомножителей: 2 + 3 + 3 + (3 + 7) = 6 + 6 + 6 = 18.

666 является суммой квадратов первых семи простых чисел:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666.

666 равно разности и сумме шестых степеней первых трёх натуральных: 16 ? 26 + 36 = 666.

666 равно сумме своих цифр и кубов своих цифр:

6 + 6 + 6 + 63 + 63 + 63 = 666.

666 можно записать девятью различными цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и одним в убывающем:

1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 = 666

123 + 456 + 78 + 9 = 666

9 + 87 + 6 + 543 + 21 = 666

Сумма всех целых от 1 до 36 включительно -- 666. Это означает, что 666 -- это 36-е треугольное число.

5.2 Число Шахиризады

Число Шахиризады - число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок "Тысяча и одна ночь". С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств: это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел:1001=103+13; число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001=13? 77); или из 91 числа 11, или из 143 семёрок; далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 - количество ночей в течение 1+ 1+ + года или по- другому: 1001= 52 ? 7 +26 . 7+13? 7. В числе Шахиризады литература переплетается с математикой.

5.3 Число на гробнице

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.


Заключение

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа.

Из огромного многообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.

Анализируя научно-популярную литературу о совершенных и дружественных чисел, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения всех пар дружественных, совершенных чисел не существует. Вопрос о существовании: бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного совершенного числа, четно-нечетной пары дружественных чисел и взаимно простых дружественных чисел открыт до сих пор.

Причем нередко одно и тоже открытие происходило в разных точках земного шара, довольно часто повторялось несколько раз, совершенствовалось, а позже распространялось и становилось достоянием всех народов. Математика невольно связывает единой нитью народы мира. Она заставляет их сотрудничать и общаться между собой.

Мир полон тайн и загадок. Но разгадать их могут только пытливые.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел. И мне бы хотелось продолжить изучение чисел, ведь я только знаю натуральные числа.

Литература

1. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: - М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.

2. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

3. Г.Н.Берман Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико - технической литературы 1984.

4. И. Депман. Мир чисел. Рассказы о математике. Ленинград "Детская литература" 1988.

5. Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада - литера 1994.

6. И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. Издательство"Просвещение" 1989.

7. Е.Карпеченко Тайны чисел .Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

8. А.Н.Крылов.Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 1994

9. Internet ресурсы


<< предыдущая страница   следующая страница >>